Caracterización axiomática proyectiva bidimensional
Un plano proyectivo es un conjunto E, a cuyos elementos llamamos puntos, junto con una familia de subconjuntos no vacíos de E a cuyos elementos llamamos rectas, de modo que se satisfacen los axiomas siguientes:
Axioma 0- Existe al menos un punto y una recta. Autodual
Axioma 1- Por cada par de puntos distintos P y Q pasa al menos una única recta, que representamos por PQ. Dual del A3.
Axioma 2- Por cada par de puntos distintos P y Q pasa a lo sumo una única recta, que representamos por PQ. Dual del T1.
Axioma 3- Todo par de rectas distintas tienen al menos un punto en común. Dual del A1.
Axioma 4- Existen tres puntos distintos no colineales. Dual del T2.
Axioma 5- Toda recta contiene al menos tres puntos. Dual del T3
Axioma 6- No todos los puntos están sobre la misma recta.
Teorema 1: si m y n son dos rectas distintas, existe a lo sumo un punto T sobre ambas. Dual de A2.
Demost.: Por reducción al absurdo: si hubiera dos puntos sobre las dos rectas, sobre ellos habría más de una recta, lo cual contradice el A2.
Teorema 2: Por cualquier punto pasan al menos tres rectas. Dual de A4.
Demost.: Sólo T está sobre m y n (T1), si P=T por PT pasa una recta (A2), por tanto por T inciden tres rectas.
Teorema 3: No todas las rectas pasan por el mismo punto. Dual de A5.
Demost.: con todos los axiomas menos el A3.
Principio de dualidad: si un teorema se puede deducir de unos axiomas, su dual también.
Teorema fundamental de la geometría proyectiva: (válido sólo para ternas coplanares).
Existe una y sólo una proyectividad en un plano proyectivo que transforma tres puntos colineales ABC en en otros tres A’B’C’.
martes, 20 de enero de 2009
Demost. deductiva: con los A3, A5 y T3, T2.
Demost. intuitiva: En perspectiva cónica, desde dos puntos de vista OO2 como máximo, es posible observar dos ternas distintas. Si desde una terna ABC se ve desde O tal que OAA’ son colineales, cualquier recta incidente en A’ transformada de ABC determinará un O2 tal que OC’C’’ y OB’B’’ son colineales.
Independencia:
Creamos un modelo en el que se verifican todos los axiomas menos uno, que será el independiente. Por ejemplo, en el modelo siguiente se verifican todos menos el A5.
Demost. intuitiva: En perspectiva cónica, desde dos puntos de vista OO2 como máximo, es posible observar dos ternas distintas. Si desde una terna ABC se ve desde O tal que OAA’ son colineales, cualquier recta incidente en A’ transformada de ABC determinará un O2 tal que OC’C’’ y OB’B’’ son colineales.
Independencia:
Creamos un modelo en el que se verifican todos los axiomas menos uno, que será el independiente. Por ejemplo, en el modelo siguiente se verifican todos menos el A5.
Caracterización axiomática proyectiva tridimensional
Un espacio proyectivo (tridimensional) es un conjunto E, a cuyos elementos llamaremos puntos, junto con dos familias de subconjuntos no vacíos de E a cuyos elementos llamaremos rectas y planos, de modo que se satisfagan los axiomas siguientes:
Axioma P1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una única recta, que representamos por PQ.
Axioma P2 Todo par de rectas contenidas en un mismo plano tienen un punto en común.
Axioma P3 Por cada tres puntos no colineales P, Q, R pasa un único plano, que representaremos por PQR.
Axioma P4 Si una recta r tiene dos puntos en común con un plano π, entonces r está contenida en π.
Axioma P5 Existen cuatro puntos distintos no coplanares.
Axioma P6 Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen dos puntos en común.
Axioma P7 Toda recta contiene al menos tres puntos.
Como en el caso bidimensional, los axiomas son los de la geometría afín cambiando el axioma de existencia de paralelas por su negación. Añadimos también la condición de que toda recta tenga tres puntos, que es necesaria porque toda recta ha de resultar de adjuntar un punto infinito a una recta afín, que tendría al menos dos puntos.
Elementos para la perspectiva cónica:
Paralelismo:
Def.: dos rectas son paralelas si se cortan en un punto del infinito. El homólogo del punto del infinito es el límite, luego:
Teorema 4: Dos rectas son paralelas si su punto límite La y Lb es coincidente y Ta es distinto de Tb.
Teorema 5: Dos planos son paralelos si la recta límite (l’a y l’b) es coincidente y Ta es distinto de Tb.
Teorema 6: Una recta y plano son paralelos si el punto límite de la recta incide en la recta límite del plano y Ta es distinto de tb.
Teorema 7: Si las trazas y los elementos límites son coincidentes, se tiene que, por el A2, los planos o rectas son incidentes o coincidentes (misma especie).
Incidencia:
Def.: Una recta y plano son incidentes si Ta incide en ta y L’a incide en l’a
Def.: Un punto incide en una recta si A’ incide en L’a - Ta
Def.: Dos rectas son incidentes en un punto si:
1- el punto de intersección es común
2- si determinan un plano
Def.: Un punto incide en un plano si incide en una recta del plano.
Perpendicularidad.
Def.: Dos elementos son perpendiculares si sus elementos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia.
Def.: Un elemento límite es el polo y el otro forma parte de la antipolar de ese polo, estando los dos alineados con el centro del CD.
Teorema 8: Una recta m es perpendicular a un plano a si el punto límite de la recta L’m es el polo de su antipolar (o recta límite del plano l’a).
Teorema 9: Un plano a es perpendicular a una recta m si el punto límite de la recta L’m es el polo de la antipolar (o recta límite del plano l’a).
Teorema 10: Un plano será perpendicular a otro plano dado si su recta límite incide en el polo de su antipolar (o recta límite del plano).
Teorema 11: Una recta m es perpendicular a otra recta n si m incide en el plano perpendicular a la n.
Teorema 12: Si dos rectas son perpendiculares sus puntos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
Distancia entre dos rectas que se cruzan:
En geometría la distancia es sinónimo de mínima distancia.
Método intuitivo y directo:
1- Sean dos rectas a, b que se cruzan.
Realizamos el ejercicio en sistema diédrico. En planta, alzado y perfil calculamos la distancia entre a y b (perpendicular común) y la proyectamos en el alzado y perfil mediante paralelas xy, zt, por el método directo.
La intersección de las proyecciones ortogonales (x con z) e (y con t) nos determina la perspectiva del segmento, c’, que es la distancia entre a y b, (en la perspectiva entre a’ y b’).
Un espacio proyectivo (tridimensional) es un conjunto E, a cuyos elementos llamaremos puntos, junto con dos familias de subconjuntos no vacíos de E a cuyos elementos llamaremos rectas y planos, de modo que se satisfagan los axiomas siguientes:
Axioma P1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una única recta, que representamos por PQ.
Axioma P2 Todo par de rectas contenidas en un mismo plano tienen un punto en común.
Axioma P3 Por cada tres puntos no colineales P, Q, R pasa un único plano, que representaremos por PQR.
Axioma P4 Si una recta r tiene dos puntos en común con un plano π, entonces r está contenida en π.
Axioma P5 Existen cuatro puntos distintos no coplanares.
Axioma P6 Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen dos puntos en común.
Axioma P7 Toda recta contiene al menos tres puntos.
Como en el caso bidimensional, los axiomas son los de la geometría afín cambiando el axioma de existencia de paralelas por su negación. Añadimos también la condición de que toda recta tenga tres puntos, que es necesaria porque toda recta ha de resultar de adjuntar un punto infinito a una recta afín, que tendría al menos dos puntos.
Elementos para la perspectiva cónica:
Paralelismo:
Def.: dos rectas son paralelas si se cortan en un punto del infinito. El homólogo del punto del infinito es el límite, luego:
Teorema 4: Dos rectas son paralelas si su punto límite La y Lb es coincidente y Ta es distinto de Tb.
Teorema 5: Dos planos son paralelos si la recta límite (l’a y l’b) es coincidente y Ta es distinto de Tb.
Teorema 6: Una recta y plano son paralelos si el punto límite de la recta incide en la recta límite del plano y Ta es distinto de tb.
Teorema 7: Si las trazas y los elementos límites son coincidentes, se tiene que, por el A2, los planos o rectas son incidentes o coincidentes (misma especie).
Incidencia:
Def.: Una recta y plano son incidentes si Ta incide en ta y L’a incide en l’a
Def.: Un punto incide en una recta si A’ incide en L’a - Ta
Def.: Dos rectas son incidentes en un punto si:
1- el punto de intersección es común
2- si determinan un plano
Def.: Un punto incide en un plano si incide en una recta del plano.
Perpendicularidad.
Def.: Dos elementos son perpendiculares si sus elementos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia.
Def.: Un elemento límite es el polo y el otro forma parte de la antipolar de ese polo, estando los dos alineados con el centro del CD.
Teorema 8: Una recta m es perpendicular a un plano a si el punto límite de la recta L’m es el polo de su antipolar (o recta límite del plano l’a).
Teorema 9: Un plano a es perpendicular a una recta m si el punto límite de la recta L’m es el polo de la antipolar (o recta límite del plano l’a).
Teorema 10: Un plano será perpendicular a otro plano dado si su recta límite incide en el polo de su antipolar (o recta límite del plano).
Teorema 11: Una recta m es perpendicular a otra recta n si m incide en el plano perpendicular a la n.
Teorema 12: Si dos rectas son perpendiculares sus puntos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
Distancia entre dos rectas que se cruzan:
En geometría la distancia es sinónimo de mínima distancia.
Método intuitivo y directo:
1- Sean dos rectas a, b que se cruzan.
Realizamos el ejercicio en sistema diédrico. En planta, alzado y perfil calculamos la distancia entre a y b (perpendicular común) y la proyectamos en el alzado y perfil mediante paralelas xy, zt, por el método directo.
La intersección de las proyecciones ortogonales (x con z) e (y con t) nos determina la perspectiva del segmento, c’, que es la distancia entre a y b, (en la perspectiva entre a’ y b’).
Método deductivo aunque con grandes dosis de experimentación inductiva:
2- Sean dos rectas v, t que se cruzan.
Esbozamos el planteamiento y su resolución en el espacio:
Por t incide un plano a paralelo a v.
Por un punto aleatorio M de v incide una recta r perpendicular al plano a.
Como vr determinan un plano b, esto implica que Tv-Tr es paralelo a L’r-L’v.
Así obtenemos Tr.
La recta r corta al plano según el punto X.
Por X se traza una recta d paralela a v, (L’v coincide con L’d).
La recta d corta a t en L.
Por L trazamos una paralela f’ a r.
La recta f corta a v en Z.
LZ es la distancia entre vt y por tanto la solución.
Sólo queda abatir LZ para obtener la verdadera magnitud de la distancia.
2- Sean dos rectas v, t que se cruzan.
Esbozamos el planteamiento y su resolución en el espacio:
Por t incide un plano a paralelo a v.
Por un punto aleatorio M de v incide una recta r perpendicular al plano a.
Como vr determinan un plano b, esto implica que Tv-Tr es paralelo a L’r-L’v.
Así obtenemos Tr.
La recta r corta al plano según el punto X.
Por X se traza una recta d paralela a v, (L’v coincide con L’d).
La recta d corta a t en L.
Por L trazamos una paralela f’ a r.
La recta f corta a v en Z.
LZ es la distancia entre vt y por tanto la solución.
Sólo queda abatir LZ para obtener la verdadera magnitud de la distancia.
Método abstracto y analítico:
3- Sean dos rectas m, n que se cruzan.
El punto límite de la perpendicular común será el antipolo L’p de L’m L’n.
Ya que según el teorema 12 si p es perpendicular a n: L’p y L’n se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
De igual forma, según el teorema 12 si p es perpendicular a m: L’p de L’m se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
Si el segmento p es la distancia más corta entre m y n los extremos de este segmento pertenecen a m, n. Con ello si p corta a m, n, implica que determina dos planos distintos (pm), (pn) -Teorema 14 -cuya intersección es p –Teorema 15. La intersección de p con m,n es la distancia entre mn.
Teorema 13: una recta y un punto determinan un plano. Demost.: por Axioma P3 y Axioma 1 y 2
Teorema 14: Dos rectas que se cortan determinan un plano. Demost.: por Teorema 13 y Axioma 1 y 2. Axioma 5, 6.
Teorema 15: Dos planos que se cortan determinan una recta –dual del 14.
Según el teorema 13:
El plano determinado por m y L’ p contiene a la perpendicular común buscada p. Ya que el plano incidente en m y L’p también contiene a p, pues m se corta con p, según el teorema 14.
El plano determinado por n y L’ p contiene a la perpendicular común buscada p. Ya que el plano incidente en n y L’p también contiene a p, pues n se corta con p, según el teorema 14.
En consecuencia, los planos m,L’p y n,L’p determinan p, y esta no puede ser otra que la perpendicular común, por la antipolaridad entre los elementos límites.
3- Sean dos rectas m, n que se cruzan.
El punto límite de la perpendicular común será el antipolo L’p de L’m L’n.
Ya que según el teorema 12 si p es perpendicular a n: L’p y L’n se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
De igual forma, según el teorema 12 si p es perpendicular a m: L’p de L’m se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
Si el segmento p es la distancia más corta entre m y n los extremos de este segmento pertenecen a m, n. Con ello si p corta a m, n, implica que determina dos planos distintos (pm), (pn) -Teorema 14 -cuya intersección es p –Teorema 15. La intersección de p con m,n es la distancia entre mn.
Teorema 13: una recta y un punto determinan un plano. Demost.: por Axioma P3 y Axioma 1 y 2
Teorema 14: Dos rectas que se cortan determinan un plano. Demost.: por Teorema 13 y Axioma 1 y 2. Axioma 5, 6.
Teorema 15: Dos planos que se cortan determinan una recta –dual del 14.
Según el teorema 13:
El plano determinado por m y L’ p contiene a la perpendicular común buscada p. Ya que el plano incidente en m y L’p también contiene a p, pues m se corta con p, según el teorema 14.
El plano determinado por n y L’ p contiene a la perpendicular común buscada p. Ya que el plano incidente en n y L’p también contiene a p, pues n se corta con p, según el teorema 14.
En consecuencia, los planos m,L’p y n,L’p determinan p, y esta no puede ser otra que la perpendicular común, por la antipolaridad entre los elementos límites.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
