Caracterización axiomática proyectiva tridimensional

Un espacio proyectivo (tridimensional) es un conjunto E, a cuyos elementos llamaremos puntos, junto con dos familias de subconjuntos no vacíos de E a cuyos elementos llamaremos rectas y planos, de modo que se satisfagan los axiomas siguientes:
Axioma P1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una única recta, que representamos por PQ.
Axioma P2 Todo par de rectas contenidas en un mismo plano tienen un punto en común.
Axioma P3 Por cada tres puntos no colineales P, Q, R pasa un único plano, que representaremos por PQR.
Axioma P4 Si una recta r tiene dos puntos en común con un plano π, entonces r está contenida en π.
Axioma P5 Existen cuatro puntos distintos no coplanares.
Axioma P6 Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen dos puntos en común.
Axioma P7 Toda recta contiene al menos tres puntos.
Como en el caso bidimensional, los axiomas son los de la geometría afín cambiando el axioma de existencia de paralelas por su negación. Añadimos también la condición de que toda recta tenga tres puntos, que es necesaria porque toda recta ha de resultar de adjuntar un punto infinito a una recta afín, que tendría al menos dos puntos.

Elementos para la perspectiva cónica:

Paralelismo:
Def.: dos rectas son paralelas si se cortan en un punto del infinito. El homólogo del punto del infinito es el límite, luego:
Teorema 4: Dos rectas son paralelas si su punto límite La y Lb es coincidente y Ta es distinto de Tb.
Teorema 5: Dos planos son paralelos si la recta límite (l’a y l’b) es coincidente y Ta es distinto de Tb.
Teorema 6: Una recta y plano son paralelos si el punto límite de la recta incide en la recta límite del plano y Ta es distinto de tb.
Teorema 7: Si las trazas y los elementos límites son coincidentes, se tiene que, por el A2, los planos o rectas son incidentes o coincidentes (misma especie).

Incidencia:
Def.: Una recta y plano son incidentes si Ta incide en ta y L’a incide en l’a
Def.: Un punto incide en una recta si A’ incide en L’a - Ta
Def.: Dos rectas son incidentes en un punto si:
1- el punto de intersección es común
2- si determinan un plano
Def.: Un punto incide en un plano si incide en una recta del plano.

Perpendicularidad.
Def.: Dos elementos son perpendiculares si sus elementos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia.
Def.: Un elemento límite es el polo y el otro forma parte de la antipolar de ese polo, estando los dos alineados con el centro del CD.
Teorema 8: Una recta m es perpendicular a un plano a si el punto límite de la recta L’m es el polo de su antipolar (o recta límite del plano l’a).
Teorema 9: Un plano a es perpendicular a una recta m si el punto límite de la recta L’m es el polo de la antipolar (o recta límite del plano l’a).
Teorema 10: Un plano será perpendicular a otro plano dado si su recta límite incide en el polo de su antipolar (o recta límite del plano).
Teorema 11: Una recta m es perpendicular a otra recta n si m incide en el plano perpendicular a la n.
Teorema 12: Si dos rectas son perpendiculares sus puntos límites se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.



Distancia entre dos rectas que se cruzan:

En geometría la distancia es sinónimo de mínima distancia.


Método intuitivo y directo:

1- Sean dos rectas a, b que se cruzan.
Realizamos el ejercicio en sistema diédrico. En planta, alzado y perfil calculamos la distancia entre a y b (perpendicular común) y la proyectamos en el alzado y perfil mediante paralelas xy, zt, por el método directo.
La intersección de las proyecciones ortogonales (x con z) e (y con t) nos determina la perspectiva del segmento, c’, que es la distancia entre a y b, (en la perspectiva entre a’ y b’).