Método abstracto y analítico:

3- Sean dos rectas m, n que se cruzan.
El punto límite de la perpendicular común será el antipolo L’p de L’m L’n.
Ya que según el teorema 12 si p es perpendicular a n: L’p y L’n se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
De igual forma, según el teorema 12 si p es perpendicular a m: L’p de L’m se corresponden en la antipolaridad respecto al CD.
Si el segmento p es la distancia más corta entre m y n los extremos de este segmento pertenecen a m, n. Con ello si p corta a m, n, implica que determina dos planos distintos (pm), (pn) -Teorema 14 -cuya intersección es p –Teorema 15. La intersección de p con m,n es la distancia entre mn.
Teorema 13: una recta y un punto determinan un plano. Demost.: por Axioma P3 y Axioma 1 y 2
Teorema 14: Dos rectas que se cortan determinan un plano. Demost.: por Teorema 13 y Axioma 1 y 2. Axioma 5, 6.
Teorema 15: Dos planos que se cortan determinan una recta –dual del 14.
Según el teorema 13:
El plano determinado por m y L’ p contiene a la perpendicular común buscada p. Ya que el plano incidente en m y L’p también contiene a p, pues m se corta con p, según el teorema 14.
El plano determinado por n y L’ p contiene a la perpendicular común buscada p. Ya que el plano incidente en n y L’p también contiene a p, pues n se corta con p, según el teorema 14.
En consecuencia, los planos m,L’p y n,L’p determinan p, y esta no puede ser otra que la perpendicular común, por la antipolaridad entre los elementos límites.